Katagori: Matematik
Roger Penrose’un genç yaşlarındayken babasıyla birlikte “eğlencelik matematik” dediği buluşu cebirsel geometride önemli problemlerden birisi olmuştur.
Kendini tekrarlayan hangi düzlemsel şekillerle bir yüzey tam olarak kaplanabilir? Biliyoruz ki eşkenar üçgenlerle, dörtgenlerle, düzgün altıgenlerle periyodik kaplama yapılabilir. Penrose, periyodik olmayan (yani kendini tekrarlamayan) düzlem kaplaması veren binlerce farklı şekil üzerinde yıllarca çalıştıktan sonra, bunlardan bağımsız olanların sayısını önce altıya sonra ikiye indirmeyi başardı.Penrose şekilleri ünlü Hollandalı grafik sanatçısı Escher’e de esin kaynağı olmuştur. Penrose, salt matematik merak nedeniyle bulduğu bu şekillerin sonradan kristalimsi denen kimyasal maddelerin niteliklerinin açıklanmasında kullanılmıştır.
Kaynak:genbilim
Tags: Eğlencelik Matematik
Katagori: Matematik
Matematikte iki kümenin Kartezyen çarpımının herhangi bir alt kümesi bağıntı olarak tanımlanır. Bir kümedeki bir öğeyi başka bir kümedeki bir öğeye götürür. Yâni, iki öğe arasında bir bağ kurar. Örneğin, göndermeler tek yönlü bir bağıntıdır.
Tanım (2)İki ya da daha çok şey arasındaki karşılıklı ilişki, ilinti, °münasebet. Eşyayı, kavramları ya da tasarımları birlik, bağlılık, birliktelik gibi durumlarda toplayan görünüş ya da nitelik, görelik, °izafiyet, °rölativite. Daha genel olarak, birbirinden farklı olması gerekmeyen n küme (A1,A2,…,An) arasındaki n ‘li bağıntı (?), bu kümelerin kartezyen çarpımının herhangi bir alt kümesidir. n, iki ise ikili bağıntı olarak adlandırılır.
Örnekler Evlilik ilişkisi A={Ayşe, Fatma, Esra, Ali, Veli, Ahmet, Mehmet} A ile A arasındaki hayali bir evlilik ilişki (E) aşağıdaki gibi olabilir: E={(Ayşe, Ali), (Ali, Ayşe), (Esra, Mehmet), (Mehmet, Esra)} Buna göre A kümesinin elemanlarından, Ayşe ve Ali, Esra ve Mehmet evlidir. [değiştir] Yaşça büyüklük ilişkisi Bütün ilişkiler simetrik olmak zorunda değildir. Örneğin K kümesinden, yaşça büyüklük ilişkisi (B) şöyle olabilir. K={Ayşe, Fatma, Esra} B={(Fatma, Ayşe), (Fatma, Esra), (Esra, Ayşe)} Bu ilişkiye göre yaş sıralaması büyükten küçüğe Fatma, Esra, Ayşe şeklindedir. [değiştir] Ayrıca Bakınız Küme Denklik bağıntısı Sıralama bağıntısı Gönderme (Fonksiyon) İlişkisel cebir
Kaynak:genbilim
Tags: Bağıntı
Katagori: Matematik
Abaküs, sayı boncuğu veya çörkü, basit toplama ve çarpma işlemleri için kullanılan bir aletir. Boncukların sayılması şeklinde çalışır. M.Ö. 2400 yıllarında Çin?de geliştirilen abaküs, denizaşırı ticaret yapan tüccarlar sayesinde Girit ve Miken bölgelerinden Avrupa ve Amerika’ya yayılmıştır. Abaküs, hareketli parçalara sahip olduğu bilinen ilk hesap makinesidir.
Arap sayılarının ve sıfır kavramının abaküs yardımıyla geliştirilmesi tarih öncelerine gitmekle beraber, halen dünyanın değişik bölgelerinde özellikle okul öncesi çağdaki çocukların matematiksel zekasını geliştirmek amacıyla kullanılmaktadır. Çağdaş hesap makinelerinin ve bilgisayarların atası sayılan hesap aygıtı olan Abaküs’te amaç 4 ana matematiksel işlem olan toplama, çıkarma, çarpma ve bölme yapmaktır. Babilliler’in buluşu olan abaküs, yüzyıllar boyunca ticarette büyük önem taşımıştır. Abaküsün temeli Girit ve Miken’e dayanmakta ve ilk abaküs örneklerinin hemen hepsinde Girit ve Miken süsleme sanatından örnekler da bulumaktadır. İlköğretim sınıflarında matematik dersine yardımcı olması amacıyla da kullanılır.Abaküs, Aritmetik hesaplamaları yapmaya yardımcı bir alet. En iyi bilinen biçimi (Çinlilerin Suan Pan’ı) dikdörtgen bir çerçevenin içine gerilmiş teller üstüne inciler dizilmesiyle oluşturulan abak, başlangıçta toprağın içine açılan sıra sıra oluklara dizilen taşlardan oluşmaktaydı. Daha sonraları, yuvarlık bilye büyüklüğünde metal top ya da boncukların paralel çubuklar ya da teller üstünde hareket ettikleri biçimi almıştır. Her boncuk ya da metal topçuğun değeri, büyüklüğüne değil konumuna bağlıdır; belirli bir çizgi üstündeki taşın ya da belirli bir tel üstündeki incinin (boncuğun,topçuğun, vb.) değeri 1, iki tanesi birlikte olunca 2 olur. Bundan bir sonraki tel 10, üçüncü sıradaki tel 100 olarak değerlendirilir. Böylece ikisi 1 değerinde ve biri 10 değerinde üç dizi taş 12′yi, 100 değerindeki bir dördüncü topçuk eklenince de 112′yi gösterir. Yani topçuk ya da boncuğun yeri, değerini belirler ve çok büyük sayılar bile birkaç topçu ya da boncukla gösterilebilir. Topçuklar bir yöne kaydırılarak işlem yapılır; elde edilen değeri silmek, yani topçuğu bir sonraki kullanıma hazırlanmak istenirse, tersi yönünde kaydırmak gerekir. Abak, görünüşte basitliğine karşın, toplama makineleri, elektronik hesap makineleri ve bilgisayarların hazırlanmasına katkı bulunmuştur. Köken bilimi Abaküs, Latince abacus sözcüğünden gelir. Türkçeye ise Fransızcadan geçmiştir. Latincede asıl anlamı masa, pano veya tablo, ikinci anlamı hesap tahtasıyken; Antik Yunancada ábaks masa, tabla anlamlarında kullanılmıştır.
Kaynak:genbilim
Tags: Abaküs
Katagori: Matematik
Matematikte dizi, terim denilen sayıların oluşturduğu sıralı küme. Dizi sonlu ya da sonsuz olabilir. Pozitif tam sayılar (1, 2, 3, 4, ?) sonsuz diziye örnek verilebilir. (1, 2, 3, 4) dizisi ise sonlu bir dizidir.
Diziler, terimleri arasındaki ilişkiye göre de sınıflandırılabilir. Sözgelimi a1, a2, ?, an, an+1-an dizisinde an+1 sayısı diğer sayılar gibi sabitse bu diziye aritmetik dizi ya da ardışık dizi denir. an+1/an oranı sabitse geometrik dizi olarak adlandırılır. Örneğin, (2, 6, 18, 54, ?) dizisi sabit oranı 3 olan bir geometrik dizidir. Sonsuz dizilerin bazı türleri bir sınır değere yaklaşabilir. Sözgelimi 1, 1/2, 1/3, 1/4, ?, 1/n dizisinde n sonsuza yaklaştıkça sıfır sınırına ulaşılır. Bir dizinin sınırı (limit) önemli bir matematiksel kavramıdır.
Kaynak:genbilim
Tags: Dizi (terim)
Katagori: Matematik
Tarihi Matematiğin doğrudan doğruya astronomiden çıkmış bir kolu olan trigonometrinin bazı ögeleri, daha Babilliler ve Mısırlılar döneminde biliniyor, eski Yunanlılar Menelaos?un Küresel geometrisi aracılığıyla, bir daire içine çizilebilen dörtgenden yola çıkarak daire yaylarının kirişlerinin değerlerini veren çizgiler oluşturuyorlardı. Daha sonra Araplar, yay kirişlerinin yerine sinüsleri koyup; tanjant, kotanjant, sekant, kosekant kavramlarını geliştirdiler.[kaynak belirtilmeli].
Batı?da Nasirettin Tusi?den büyük ölçüde yararlanan Regiomontanus?un Üçgen Üstüne adlı eseriyle gerçek trigonometri doğmuş oldu. François Viète ve Simon Stevin, hesaplarda ondalık sayılardan yararlandılar. John Napier logaritmayı işe kattı. Isaac Newton ve öğrencileri trigonometri fonksiyonlarının ve logaritmalarının hesabına tam serileri uyguladılar. Daha sonra da Leonhard Euler, birim olarak trigonometrik cetvelin yarıçapını alarak, modern trigonometrinin temellerini attı. Çembersel trigonometri Çembersel trigonometride, on sekiz boyutlu düzlemde (ve üçü de aynı doğru üzerinde yer almayan) üç noktayı doğru parçalarıyla ikişer ikişer birleştirerek oluşturulan düzlemsel üçgenler söz konusudur. Küresel trigonometride ise, üç boyutlu kürenin iki boyutlu olan yüzeyinde (ve üçü de aynı büyük çember üzerinde yer almayan) üç noktayı büyük çember yaylarıyla ikişer ikişer birleştirerek oluşturulan küresel üçgenler söz konusudur. Küresel trigonometri Eski Yunanda astronomiye ilişkin gereksinimleri karşılamak amacıyla ortaya çıktı ve gelişti. Küresel trigonometri aslında düzlemsel trigonometriyi de tümüyle içerir, ama düzlemsel trigonometri ancak 15. yüzyıl Avrupa’sında, topografya, ticaret ve denizciliğin gereksinimleri doğrultusunda kendi başına ve küresel trigonometriden bağımsız olarak gelişmiştir. Küresel trigonometri, düzlemsel geometriden daha önce ortaya çıkıp gelişmiş olmakla birlikte, ancak düzlemsel geometrinin temel ilkelerinin bilinmesiyle daha iyi anlaşılabilir. Düzlemsel trigonometri aslında her tür düzlemsel üçgen için geçerli olmakla birlikte, bağıntılar genellikle dik üçgenlerde tanımlanır. Açılarından biri (x) 0° ile 90° arasında olan bir dik üçgenin (düzlemsel bir üçgende iç açıların toplamı 180° olduğu için) öteki açısı 90-x’e eşittir. Böyle bir üçgende dik açının karşısındaki kenar |OD| hipotenüs, O ‘nun karşısındaki kenar |CD| karşı kenar, |OC| ‘ya komşu olan kenar ise komşu kenar olarak adlandırılır. Bu kenarlar birbirlerine ikişer ikişer altı farklı biçimde oranlanabilir, böylece A açısının trigonometrik fonksiyonları tanımlanmış olur. Açı Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimine açı denir. [OA ve [OB ışınlarına açının kenarları, O noktasına ise açının köşesi denir. Trigonometrinin kullanım alanları Trigonometri birçok fen biliminde, matematiğin diğer alanlarında ve çeşitli sanatlarda yaygın bir biçimde kullanılmaktadır. Trigonometriyi kullanan bazı dallar şunlardır: jeofizik, kristalografi, ekonomi (özellikle de finansal pazarların analizinde), elektrik mühendisliği, elektronik, jeodezi, makine mühendisliği, meteoroloji, müzik kuramı, sayı kuramı (ve dolayısıyla kriptografi), oşinografi (okyanus bilimi), farmakoloji (eczacılık), optik, fonetik, olasılık kuramı, psikoloji, sismoloji… Trigonometri yukarıda örneklendiği gibi birçok farklı alana farklı katkılarda bulunmuştur. Örneğin Pisagor kuramının isim babası Pisagor matematiksel müzik kuramına ilk katkıda bulunan isimlerdendir. Oşinografide bazı dalgaların sinüs dalgalarına benzerliği ilgili incelemelerde trigonometrinin kullanımına olanak tanımıştır. Bunun dışında Fourier serileri sayesinde trigonometrik fonksiyonlar farklı fonksiyonları temsil etmekte kullanılırlar ve bu sayede trigonometri birçok farklı dalda kullanım olanağı bulmuştur. Böylece ısı akışı ve difüzyon başta olmak üzere özellikle periyodik özellik gösteren kavramların incelendiği birçok dalda ve fenomende trigonometrik fonksiyonlar kullanılabilmiştir; akustik, radyasyon ve elektronik gibi.
Kaynak:genbilim
Tags: Trigonometri
Katagori: Matematik
Toplumbilimciler toplumu ve sosyal davranışı, insanların oluşturduğu grup ve toplumsal kurumu çeşitli sosyal, dinsel, politik ve iş organizasyon gibi inceleyerek çalışırlar. Onlar aynı zamanda grup davranışlarını ve toplumsal etkileşimlerini inceler, köken ve gelişimlerini takip eder ve üye bireyler üzerinde grup hareketlerinin etkisini çözümlerler. Toplumbilimciler toplumsal grupların, organizasyonların ve kurumların özellikleri; bireylerin her birinin diğerinden ve ait oldukları gruptan etkilenme yolları ve bir insanın günlük yaşamında cinsiyet, yaş veya ırk gibi toplumsal özelliklerin etkisi ile ilgilidir. Toplumbilimsel araştırmalar eğitimcilere, yasakoyuculara, yöneticilere ve toplumsal sorunları çözmek ve kamu politikaları geliştirmek isteyenlere yardımcı olur.
Birçok toplumbilimci bir veya birden fazla uzmanlık alanında çalışır: toplumsal organizasyon, toplumsal tabakalaşma, toplumsal hareketlilik; ırksal ve etnik ilişkiler;eğitim, aile; toplumsal psikoloji,şehir, kırsal, politika, ve karşılaştırmalı toplumbilim; cinsiyet rolleri ve ilişkiler; demografi; yaşlılık; suç bilimi; ve toplumsal uygulamalar. Toplumbilim büyük oranda Comte’nin toplumbilimin ergeç bilimin bütün diğer alanlarını içine alacağı inancına yaslanarak gelişse de, sonuçta, toplumbilim diğer bilimlerin yerine geçmedi.Bunun yerine, toplumbilim diğer toplumsal bilimlerle özdeşletirilme noktasına geldi. Günümüzde, çoğunlukla karşılaştırmalı bir yöntem kullanarak, insan türünün organizasyonlarını, toplumsal kurumlarını ve bunların toplumsal etkileşimlerini incelemektedir. Disiplin özellikle karmaşık sanayi toplumlarına odaklanmıştır. Toplumbilimciler son zamanlarda antropologlardan aldıkları ipuçları ile, bu alandaki “Batı Vurgusu”nu belirtmektedirler. Tepki olarak ise yeryüzündeki birçok toplumbilim bölümü çok kültürlü ve çok uluslu çalışmaları desteklemektedir. Günümüzde, toplumbilimciler, toplumu düzenleyen ırk veya etnisite, sosyal sınıf, cinsel rolleri ve aile gibi kurumları; suç ve boşanma gibi bu yapıların ayrılma ve bozulmasını temsil eden toplumsal işleyişleri ve benzeri kişiler arası etkileşimler gibi mikro-işleyişleri ve bireylerin toplumsallaşmaları, gibi mikro- toplumsal yapıları araştırmaktadırlar. Toplumbilimciler sıklıkla toplumsal ilişkilerdeki kalıpları açıklamak ve toplumsal değişimi belirlemeye yardım edecek modeller geliştirmek için toplumsal araştırmanın kantitatif yöntemine dayanırlar.Toplumbiliminin belli dalları ise – odaklanarak yapılan görüşmeler, grup tartışmaları ve etnografik yöntemler gibi yöntemelerin- sosyal işleyişlerin daha iyi anlaşılmasını sağladığını düşünmektedir.Orta yolu bulmak isteyen bazı toplumbilimciler ise kantitatif ve kalitatif yaklaşımların birbirini tamamlayıcı olarak kullanılmasını tartışmaktadır. Bir yaklaşımdan elde edilen sonuçlar diğer taraftaki açıkları kapatabilir. Mesela kantitatif yöntemler büyük ve geniş kalıpları tanımlarken kalitatif yaklaşımlar bireylerin bu kalıpları nasıl anladıklarını anlamamıza yardımcı olabilir. [değiştir] Toplumsal Araştırma Yöntemleri Toplumbilimcilerin, soru formları veya toplumsal yöntemler araştırma anketi, görüşmeler,katılımcı gözlem, istatistik araştırması, değerlendirme araştırması ve test, anket vb belge tabanlı değerlendirme gibi çalışmaları içeren kuramsal olmayan bulguları bir araya getirmek için kullandığı birçok ana yöntem vardır. Bu yaklaşımların hepsinin sorunu bunların, araştırmacının bunların gözünde gördüğü toplumu nasıl çözümlediği ve anladığını uyarlamaya çalıştığı kuramsal konuma dayanıyor olmasıdır. Eğer Émile Durkheim gibi işlevselci ise, araştırmacı herşeyi büyük ölçekli toplumsal yapıların terimleriyle açıklaması muhtemeldir. Bir sembolik etkileşimci büyük olasılıkla insanların birbirini nasıl anladığına yoğunlaşacaktır. Bir marksist ya da neo-marksist bir araştırmacı ise muhtemelen herşeyi sınıf mücadelesi ve ekonomi süzgecinden geçirecektir. Fenomenciler ise insanların gerçeğin onlara göre anlamlarını kurguladıkalrı tek bir yol ve başka hiç bir şey olmadığını düşünmeye eğilimlidirler. Gerçek sorunlardan biri ise birçok toplumbilimcinin bir tek kurumsal yaklaşımın doğru olduğu ve bunun da kendilerinki olduğunu tartışmalarıdır. Uygulamada, toplumbilimciler sıklıkla, her yöntem özel data tipleri ürettiği için farklı yaklaşımları ve yöntemleri karıştırıp eşleştirmektedir. İnternet üç açıdan toplumbilimcilerin ilgi alanındadır: mesela kâğıt üzerindeki anketler yerine çevrimiçi anketleri kullanmak adına bir araştırma aracı olarak, bir tartışma platformu olarak ve bir araştırma konusu olarak. Internet toplumbilimi, çevrimiçi toplulukların (ör:haber grupları) çözümlemesini, sanal toplulukları ve dünyaları,internet gibi yeni medyalar ekseninde çözünen organizasyonel değişimleri ve sanayi toplumundan bilgiye dayalı topluma (veya bilgi toplumuna) doğru yaşanan dönüşümde geneldeki toplumsal değişimi içermektedir. [değiştir] Diğer Toplum Bilimleri 20.yy’ın başlarında sanayi toplumu üzerinde araştırma yapan toplumbilimciler ve psikologlar antropolojinin gelişimine katkıda bulundular. Antropologlar da sanayi toplumları üzerinde araştırmalar yaptılar. Günümüzde toplum bilim ve antropoloji çalışma nesnelerinden ziyade farklı kuramsal içerik ve yöntemlere göre daha iyi bir şekilde farklılaşmışlardır. Sosyalbiyoloji görece olarak hem toplumbiliminden hem de biyolojiden kaynaklanan yeni bir alandır. Bu alan ilk önce çok hızlı bir kabul görse de, toplumsal davranış ve yapıların evrimsel ve biyoloijik işleyişlerle açıklama yolları aramasından dolayı tepki topladı. Toplumbilimciler sıklıkla davranışı tanımlamada genlerin etkilerini çok fazla dayanak göstermeleri yönünden eleştirilmektedirler. Ne var ki toplumbilimciler sıklıkla doğa ve yetiştirme arasında karışık bir ilişki olduğuna atıfta bulunarak yanıt verirler. Bu anlanmda sosyalbiyoloji fiziksel antropoloji, zooloji, evrimsel psikoloji, insan davranışsal ekoloji ve ikili kalıtım kuramı ile yakın ilişki içersindedir. Bununla birlikte, bu alanda çalışanların çoğu için, büyük oranda bu alanın düşünceleri kabul edilebilirdir, çünkü toplumsal yapılar için biyolojik temeller bulmak toplumsal yapıların nadir ve isteğe bağlı olduğunu ifade eden birçok toplumsal kuramın önerme ve çıkarımlarına karşı gelmektedir. Toplumbilim toplumsal psikoloji ile bazı bağlantıları vardır ancak ilki toplumsal yapılarla ilgili iken ikincisi toplumsal davranışlarla ilgilidir.
Kaynak:genbilim
Tags: Bilim ve Matematik
Katagori: Matematik
Dünyanın en büyük matematikçilerinÂden olan Dr. Irving Jushua Matrix ile alaÂkalı olan dosyalarımı tetkik ettiğimde onun seyyahlık mesleğiyle alakalı şimdiye kadar yazmadığım gözden kaçmış notlar buldum. O Tübingen?de geçirdiği yıllarda, metaÂfizik* ve dinî sistemlerin ehemmiyetini kaÂbul eden felsefi bir okul olan General Eclectics Enstitüsünde kurucu ve idareci olaÂrak bulundu. Ben, Dr. Matrix?in Bombay? dan son derece akıllı bir şekilde eski Hint tekniği olan akupunktur ile frenolojiyi birÂleştirmesinin revacından da hiç bahsetmeÂdim. {adsense_after_intro}Budapeşte?de, Duna Intercontinental Otelinde milletler arası mühim bir toplantıÂda bulunuyordum. Dr. Matrix?in yan Japon kızı Iva benim orada olduğumu Öğrenmiş. Birgün ben dışarıda iken telefon edip ?Jeremiah 33:3? şeklinde ve bir İstanbul teleÂfon numarasıyla mesajını bırakmış. TelefoÂnu açtığımda, Hilton otelinde bulunduklaÂrını, bir hafta İstanbul?da kalacaklarını, beÂnimle birlikte bulunmaktan memnun olaÂcaklarını belirttiler. Ertesi gün uçakla İstanbul?a gittim. Iva ile buluştuk. Şehri gezmeye çıktık. Büyük ÇarşıÂdan Iva, libas mücevheratı olan bir masa önünde durakladı? Uzun bir pazarlıktan sonra dört tane ayn fiyatta pahalı yüzük saÂtın aldı. Genç tezgâhtar bu dört kalem heÂsabı cep hesap makinesiyle toplarken onun, toplama tuşu yerine 3 defa çarpım tuşuna bastığını gördüm. Bunu Iva?ya fısıldadım. Tasdik etmesine rağmen yine de hesap maÂkinesinde görünen 6,75 dolan ödedi. BaşÂka bir dükkâna doğru yöneldiğimizde ?NiÂçin itiraz etmedin?? diye sordum. ?ÇünÂkü? dedi, ?Aklımdan hesapladım ve aynı netice çıktı. ? Hemen bir zarfın arkasında hesapladım ?Vay canına?? dedim ?HaklıÂsın.? Hatta daha şaşırtıcısı, daha sonra saÂdece bir doları kapsayan dört ayn değerin oluşturduğu kümenin çarpım ve toplam olÂmak üzere aynı neticeye yani 6,75 dolara vardığını buldum. Gelecek ay, bu ufak problemin çözümünü Diophantine analiÂzinde vereceğim. Sultan Ahmet Camii ve Topkapı SaÂrayını ziyaret ettik. Şehrin batısındaki esÂki Bizans surlarının yanından geçtik. CaÂmilerin bazılarının zeval gördüğünü fark etmek gerçekten üzücüydü. Bazıları şimdi, meşrubat satılan yerler olarak bazıları ise gecekondu gibi kullanıldığı için zarif duÂvar mozaikleri çinilerin düşmesi ve yanılmalarla lekelenmiş.. Hatta kubbeler ve kuleler bakımsızlıktan kahverengiye dönüşmüş ve günün yoğun sisinden onları görebilmek gerçekten zor. Sonunda Hilton?a vardığım zaman Dr. Matrix, bizi bekliyordu. Ofis olarak kullandığı odasına geçtik. Masanın üzeÂrinde iki yerinden dilimlenmiş ve açılabiÂlir şekilde tutturulmuş, öyle ki, açıldığı zaÂman 3 adet 4 kenarlı, herbiri kare tabanlı yamuk piramitler oluşturabilen bir büyük fildişi küp duruyordu. (Şekilde gösterildiÂği gibi) ?Bu üç piramit benzerdir (eştir)? dedi, Dr. Matrix ?Eğer kare taban bir biÂrimlik kenara sahipse, 2 bitişik yüzey, bir bir birimlik 2 kenar ve birimlik hipoteÂnüse sahip ikizkenar dik üçgenlerdir. DiÂğer 2 kenar, birbirine eşit olmayan 1, ve hipotenüsü > değerli kenarlara sahip dik üçgenlerdir. Bu kartlarla küpleri oluşturmak çok kolay, fakat birçok insanın bunu yapamayışı hayretle karşılanabilir. Teşrih olayı, Çin?e kadar uzanır. PiÂramitler yangma diye adlandırırlar. OkurÂlarına, karttan bu kadar düzenli bir şekilde çok değdik bîr yolla ayırıp ay ıram ayacağıÂnı, tekrar küp şekline getirip getiremeyeceklerini sorabilirsin. Bu kartı 3 ilmî parçaya ayırıp ayıramayacaklarını da sorabilirsin.? Dr. Matrix, birbirine tutturulmuş yangmaları, ilk eski vaziyetlerde ki gibi yaÂpışık dik bir kare halinde topladı. ?Bu üçlülerin sekiz tanesini bir keÂnarı iki olan bir küpün 8 köşesine yerleştir? diye devam etti. Sen 12 yüzlü bir şekil meydana getirirsin. Bu tip yapı böyle bir katının (yapının) hacmini hesaplamada koÂlay bir yol sağlar. Eğer merkezî küpün keÂnarı, 2 ise, 12 yüzlü şekil 8 +- (24/3) veÂya 16 hacmine sahip olur. Bunun da ötesinÂde eğer 4 özdeş yangma yaparsan onlar birÂleşerek Mısır?ın büyük piramidini andıran tabanı 2 ye 2 kare olan ve kenarları 4 ahenkli ikizkenar üçgen olan bir piramit oluşur. Düzgün 12 yüzlü şeklin iskeleti ve 12 özdeş elmas gibi kesilmiş yüzü bu sayÂfanın altındaki şekilde gösterilmiştir. 4 yağma ilk yapılabilen açılmış piramit üst soldaki şekilde gösterilmiştir. Cazip bir oyuncak; 6 tane bu çeşit piramidi sağ üstte görüldüğü gibi 6 kare tabanı çapraz bir şerit şeklinde tabanlarından yapıştırılarak yapılabilir. Şeridin tabanını kırmızıya ve piramitlerin yanlarını da maviye boya.. Piramitleri içeri doğru katlamak katı kırmızı bir küp oluşturur. Bunun aksine dışarıya doğru katlamak için de kübik iç boşluğu olan ve iki tane bu şekildeki modelle mavi bir 12 yüzlü, göstermesinin mümkün olduğu bir 12 yüzlü şekil meydana gelirdi. İç kırmızı küpü göstermek için kabuğunu çıkar ve aynı boyda başka bir kırmızı küp yapmak için kabuÂğu katla. Herbir küp böylece iki özdeş maÂvi 12 yüzlü şekle açılabilir. ?Bu kadar geometri yeter.? dedim, ?Hiç İstanbul?a geldiğinden beri rakam gariplikleriyle karşılaştın mı?? Cevap yerine, Dr. Matrix bana 60 sayfalık ?19 Sayısı: Kur?an?da Mucizevî RaÂkam? adında bir kitap uzattı. Daha sonra bu kitabın yazan, Reşad Halîfe?nin, bir süre öğretim görevlisi olarak çalıştığını, AmeÂrikan Üniversitesinde biyokimya dalında doktora yapmış olduğunu öğrendim. Onun bu kitabı, 1972?de Amerika?da yayınlandı. Kur?an-ı Kerimin 74. sure 27-31 ayetÂleri 19 rakamından bahseder ve bu rakamın imansızlar için bir muamma olarak tasarÂlandığını ifade eder. Dr. Reşad Halife 19? un Kur?an?da çok sık görüldüğünü ve bunun bir şifre olduğunu kitabında anlatmaya çaÂlışmıştır. Kur?an?daki sure sayısı 114?tür. 19?un katıdır. (Yani 19×6 = 114) Bismillahirrahmanirrahim. 19 harftir. Birinci keliÂme ?isim? Kur?an?da 19 defa görülür. İkinci kelime ?Allah? 2698 kere (yani 142×19} zikÂredilmiştir, üçüncü kelime ?Er? Rahman? 57 defa (yani 3×19} tekrar edilmiştir. Dördüncü kelime ?Er ?Rahim? 114 defa (yani 6×19) tekrarlanmıştır. (*) ?- Bu, Kur?an-ı Kerim üzerinde hâriÂka bir çalışma? dedi, Dr. Matrix ?Fakat eğer Reşad Halife bu risaleyi yazmadan önce bana danışsaydı bu çalışma daha enÂteresan ve tesirli olacaktı. Mesela 9 ve 10? un birinci kuvvetleri, 9 ve 10?un ikinci kuvÂvetlerinin farkıdır. Emirp?in ne olduğunu bilir misin? Başımı bilmiyorum manasına sallaÂdım. Bu sırada Iva, elinde bir tepsi içinde içeceklerle geldi. İstanbul?un kubbeleri, kuÂleleri altunî kırmızıya kaçan renkteki gökÂte, siyah siluetler oluşturana kadar mateÂmatik dışındaki mevzulardan hoşbeş ettik. Ya, emirp geriden de asal sayıdır ve arkadaşım Jeremiah P. Farreli?in de, palendrome (geriden de aynen okunan keliÂme, sayı) olmayan fakat basamakları ters çevrildiğinde ayn bir asal sayı olan sayı için kullandığı isimdir. Mesela, son emirpal yıl 1949?du ve bundan sonraki de 3011 olacak. Maalesef her iki tarih de aynı baÂsamakları ihtiva ediyor ve iki basamağı aynı olmayan numerologist (sayıların esrarı ile ilgili) emirpler daha fazla enteresandır. Ben bu sayılara no-rep emirps derim ve onların ardışık sırası: 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, … Kimse bu no-rep emirplerin sonsuz olduğunu bilmez. Aslında kimse en büyük emirpi veya en büyük palendromik asal sayıyı bilmez. ?- İstanbul ile emirpler arasında hiçÂbir bağ var mıdır?? diye sordum. ?-Oraya geliyorum.? dedi. Dr. Matrix ?Bildiğiniz gibi, İstanbul bir zamanlar Constantinapole isminde büyük bir şehir idi. Constantinapole?un tarihinde en mühim yıl şüphesiz ki, 1453, şehrin Türkler taraÂrından fethedildiği yıl. Şimdi 1,453 sadece bir emirp değildir, ayrıca bir ne-rep-emirpdir. Onun basamaklarının, en küçük emirp olan 13?e eklendiğinde meydana gelen saÂyının neticesini inceleyin. Bu sırada İva, elinde bir tepsi içinde içeceklerle geldi. İstanbul’un kubbeleri, kuleleri altunî kırmızıya kaçan renkteki gökte, siyah siluetler oluşturana kadar matematik dışındaki mevzulardan hoşbeş ettik. ?- Günbatımı, dedi Iva, şehrin övgüÂye değer görüntüsü!? Açık bir pencereden müezzinin okuduğu ezan sesi süzüldü. Onun hoparlörlerden yaptığı davet, çok uzak olÂmayan minareden ibadete çağırıyordu. Dr. Matrix, karışık renkli hoş desenli secÂcadesini yere serdi ve güneydoğuya çevirÂdi. Ayakkabılarını çıkardıktan sonra Kur? an?ın ilk Suresi olan Fatiha?yı yüksek sesle okudu, seccadeye diz çöktü. Iva şaşkın bir gülümsemeyle elindekini yudumlarken o, Kabe? ye yönelmiş vaziyette teslimiyetini ifade ediyordu. İstanbul?da birkaç unutulmaz, parlak gün geçirdim. Ayrılırken Dr. Matrix?in gözÂlerinde yaşlan görebildiğimi tasavvur ettim. Kaderi hakkında bir ön sezgisi mi olmuştu? Bana söylediği son sözler ?Güle güle, MaÂşallah hanim efendi, iyi şanslar.. Allah sizÂden razı olsun.? oldu. – ?Selam? dedi Iva. Üç hafta sonra New York Times de çıkan bir hikaye beni perişan etti. HâdiÂse Bükreş’teydi. Vazifeli olarak gittiği söyÂlenen Dr. Matrix?in Bükreşte Ivan Skavinsky Skavar adında bir ajan ile görüştüğü anlaşıldı. İkisi, Danub deltasında terkedilÂmiş bir yere gittiler. Orada ne olduğu kati olarak açık değil. Görünüşte iki adam da aynı anda birbirlerine ateş edip ölmüşÂler. Uzun boylu adamın düşerken ?Allahu Ekber? diye bağırdığını bir tepeden seyÂreden bir görgü şahidi ifade ediyor. Iva, Danub?da babası için bir mezar hazırlattı. Bir grup Rus tarafından alınan Skavar?ın cesedinin Karadeniz?in derin sularına bırakıldığı şâyialarının yayıldığını Times gazetesi belirtti. Bana en yabancı ve en tecrübeli bu tanıdık hakkındaki yazımı, istemeyerek böyle üzücü sözlerle noktalıyorum. (*): Dr. Reşad Halife?nin kitabında böyle pekçok enteresan noktalar vardır: ?Kur?anda iki surenin başında ?kaf? harÂfi vardır: I: Kaf Suresi II- Şûra Suresi. Kaf süresindeki kaf harflerini saydığımız zaman 19 sayısının üç katı olan 57 defa tekrarlanÂdığını buluruz. Şûra Süresindeki kaf harfÂlerinin de 5 7 defa tekrar edildiğini buluruz. Bu durum, Şûra Suresinin, Kaf Suresinden iki buçuk kat uzun olmasına rağmendir. Ayrıca dikkati çeken bir nokta var. Kaf SuÂresinde 17. ayet ?Ve Âdün ve Firavnü ve İHVANÜ Lût.? Bu âyet, üzerinde iyice düÂşünmeden, fazla inceleme yapmadan uğraÂyıp geçtiğimiz bir âyettir. Ancak biraz araştırma yapınca, Kur?an-ı Kerim?de ?Kav-mu Lut? ifadesini 12 defa okuyoruz. SaÂdece Kaf Suresinde ?İhvanü Lut? şeklinde bir isimle karşılaşıyoruz. Eğer bu surede de ?kavm? kelimesi zikredilmiş olsaydı bu surede kaf harflerinin sayısı 58 olurdu. Bu sefer de 19?un katlarından olmazdı. Şifre bozulmuş olurdu. Sad harfini, üç surede (A?raf, MerÂyem, Sad) saydığımız zaman yekûn 152 yaÂni 19×8 olduğunu görürüz. Halbuki Araf Suresinin 69. ayetinde geçen ?Besta? keÂlimesi Sad ile ?Basta? şeklinde yazılıdır. Hz. Muhammed (s.): ?Cibril bana vahiy kâtiplerine, bu kelimeyi. Sin harfiyle değil de, Sad harfiyle yazmalarını söyle, dedi? buyurmuştur. Hâlbuki Arab dilinde ?Basta? şeklinde bir lügat yoktur. Onun için Kur?an’da bu kelimedeki Sad harfinin altına bir Sin harfi yazılarak aslına işaret edilmektedir. Eğer besta şeklinde sin harÂfiyle yazılsaydı bu sefer 152 sad harfi, 151 olacak ve 19?luk şifre bozulacaktı. Nun harfi, sadece Kalem Suresinin başında bulunmakladır. Bu Suredeki nun harflerini saydığımız zaman 133 tane olÂduğunu göreceğiz. (Yani 19×7). Er?Ra?d Suresinin başında ?Elif Lam Mim Ra? harfleri var. Hepsini saydığımızÂda, bu surede bu dört harfin toplam 1501 defa tekrarlandıkları ortaya çıkar ki, 19×79 demektir. Tâhâ Suresinde Ti ve He harflerinin ikisinin toplam tekrarı 342?dir. Yani 19×18 demektir. Martin Gardner Scientific American’dan
Kaynak:genbilim
Tags: Bu da Batılı Düşünce: Matematiğin Sırları, Matematiğin Sırları
Katagori: Matematik
Muhammed Bin Musa El Harzemî, 780 veya 795 tarihinde Hazer Denizinin doğusundaki Harzem (Aral gölünün güneyindeki bugünkü Hive) de doğmuştur. Doğum yerine izafeten El’Harzemî diye anılır. Harzemî beş fen dalına tesirli şekilde hizmet etmiştir.
Harzemî, matematiğin geniş bir dalı olan cebirin temellerini atmıştır. Cebir mevzularını içine alan eseri, bütün dünyada cebir ilmine ad olmuştur. Harzemî, cebir bakımından Öklid’den 1000 yıl ileridedir. Cebirle ilglii meşhur eserinin adı: “El’Kitab’ül-Muhtasar fi Hısab’il – Cebri ve’l-Mukabele” dir. 12 asır önce yazılan bu eser cebir sistemlerine ait kaide ve teoremler ile yeni çözüm yollarını mevzu edinir. Bu eser Doğu ve Batı ilim dünyasında ilk müstakil cebir kitabı olma şerefini kazanmıştır. El Cebr ve’l – Mukabeleyi Harzemî 830 yılında şark seyahatin dan döndüğünde Halife Memun’un isteği üzerine Arapça olarak hazırlamıştır. 1145 yılında zamanın ilim dili olan Latinceye çevrilmiş ve Müsteşrik F. Rosen tarafından “The Algebre Muhammed Bin Musa” adlı tercümesi 1831 yılında Arapça metni ile birlikte Londra’da yayınlanmıştır. Eser, medenî muâmelat, arazi Ölçümü, bina yapımı ve kanal hafriyatında rastlanan pratik meseleleri cebir yolu ile halle yarayacak karekterde umuma mahsus olarak kaleme alınmıştır. Eser, bir önsöz ile beş esas bölüm ve bir de ek bölümden meydana gelmiştir. Birinci Kısım: Birinci ve ikinci dereceden altı ayrı tipten denklemin (muadele) geometrik yolla çözüm metodunu ihtiva eder: 1) x2 = a, 2) x2 = bx, 3) ax = b, 4) x2 + ax = b, 5) x2 + b = ax, 6) x2 = ax + b Bu bölümün ikinci kısmında: (a ± x) ve (b ± x) gibi “Binom Formüllerinin” çarpım kaideleri de vardır. Ayrıca, ikinci dereceden tam olmayan üç ayrı tip denklemin (muadele) tamamen kendisine mahsus değişik çözüm yollan belirtilmiştir. İkinci Kısım: İkinci dereceden tam olmayan denklemlerin geometrik çözümünü mevzu edinir. Her tip denklem için iki ayrı çözüm yolu göstermiştir. Bu çözüm yollarından birincisi geometrik çözüm yolu olup, bugünkü cebirde “Kare ve dikdörtgen metodu” denmektedir. Bu çeşit bir çözüm yolunu, ne eski Mısır ve Mezepotamya, ne de eski Yunan ve eski Hind matematiğinde görmek mümkün değildir. Harzemî’nin bu çözüm şekli, matematikte cebir ile geometri arasında bir nevi yakınlık kurmayı hedef tutan araştırmanın ilk mahsulüdür. Üçüncü Kısım: Birer terimi bilinmeyen iki terimli bir çarpanın neticesinin nasıl bulunacağını mevzu edinir. Burada, çarpanlara ayırma ve “özdeşlik” nevinden hususiyetleri görmek mümkündür : (x + a) (x + b), (x + a) (x – b), (x – a) (x + b), (x ? a) (x ? b) … çarpım durumlarını incelemiştir. Dördüncü Kısım: gibi işlemlerin çözüm kaidelerini ve çözüm yollarını belirtir. Beşinci Kısım: Cebirle çözülebilecek bazı problemlere ayrılmıştır. İki misal verelim : a) 10 sayısını öyle iki kısma ayırınız ki, bunların kareleri toplamı 58′e eşit olsun. b) 10 sayısını öyle İki kısma ayırınız ki bunların kareleri farkı 40 sayısına eşit olsun. Eserin son ek bölümünde de; devri, için gerekli olan, amelî ve tatbikî hesaplama şekilleri, zamanın hükümet işlerine ait hesapların yapılması, kanalların açılması, bina inşaatı, esnaf, tüccar ve ölçme memurları için gerekli hesapların cebirle çözüm yolları, Hint sayı işaretleri, vasiyet memurları için gerekli olan Kur’ân-ı Kerim’deki miras hukuku uygulamasını hem aritmetik hem de cebir yolu ile çözümlenecek şekilde, gerekli çözüm yollarını misalleriyle beraber gösterir. Harzemî’nin; cebir kelimesini matematiği ithâl edip, matematikte geniş bir dal olan cebiri, metodik ve sistematik hâle getiren; ikinci derece denklemlerin pozitif köklerini veren orijinal bir çözüm metodunu ilk olarak ortaya koyan; ikinci derece denklemler için, bugün “kare ve dikdörtgen metodu” denilen “grafik metodla” yani geometrik yolla çözüm yollarının, gerçekleştirilmesini cebire ilk olarak kazandıran “Kitabü’l- Cebr ve’l- Mukabele” si üzerinde bir nebze daha durarak bazı tahliller yapalım: Cebir kelimesi Arapça’da kırık olan bir şeyi doğrultmak manasına gelir. Hattâ kırık ve çıkık olan bir uzva sarılan tahtalara cebire denilir. Matematikte cebir, bir kesri tam kılma karşılığı olarak alınmıştır. Harzemî ise, cebir ve mukabele tabirini şu mânada almıştır: Cebir, bir eşitliğin bir tarafındaki negatif işaretli terimleri diğer tarafa geçirmektir (eşitliğin her iki tarafında pozitif işaretli terimler kalacak şekilde). Mukabele ise, benzer terimlerin irca’ ve ıslâhıdır. Meselâ: Matematik tarihinde Ömer Hayyam’ın “yaklaşık kare kök formülü” adını alan münasebeti, cebir ile şeklini alır. Yukardaki formülün mukabelesi olmaz, çünkü benzer terimler yoktur. Hayyam’ın yukarıdaki formülü, (a + b)2 = a2 + (2a + b) b, özdeşliğinin yaklaşık bir ifadesi olarak aldığı anlaşılıyor. Cebir ve Mukabelenin Birinci Kısmı başta ele aldığımız gibi, “Durûbu Sitte” veya “Mesaıl-ı Sitte” dediği altı denklemin çözüm kaidelerini isbatsız olarak ihtiva eder. İkinci Kısım, İlim Tarihi bakımından en orijinal olanıdır. Bu bölümde ikinci dereceden tam olmıyan denklemlerle, aşağıdaki üç tip denklemin geometrik (ki biz buna Kare ve Dik dörtgenler metodu diyeceğiz) çözümlerinden bahsedilmektedir: I. x2+Ax=B II. x2 + B= Ax III. x2 =Ax + B Harzemî bilinmeyen mikdara Şey; Şey’in karesine Mâl; Mâl’in Şey ile çarpımına, Kâab demiş ve bunları sırasiyle “Ş, M, K” harfleriyle göstermiştir. Şimdi bu kısmın meselelerini modern harf ve sembolleri kullanarak çözelim: I. x2+Ax=B Bu denklem için Harzemî’nin verdiği misal: Bir Mâl ile 10 Şey’ toplamının 39 dirheme eşitliğini temin edecek şeyin belirtilmesi yani x2+10x=39 denkleminin çözümünün tayinidir. Harzemî, yukarda-ki üç tip meselenin çözümü için ayni geometrik metodu kullanmıştır. Şöyleki; daima mâlum farz olunan Mâl, bir kare ile temsil olunur ve verilen denklemin şartlarına (kat sayılarına) göre, Şey’ belirtilir. Harzemî verilen denklemi iki tarzda çözmüştür. Birinci tarz: Farzedelim ki Mâl, ABCD karesiyle gösterilmiş olsun. Bu karenin kenar uzunlukları Şey’e eşit olacaktır. Şekilde DK’yı, Şey’in yanındaki sayı (katsayı) olan 10′un dörtte birine eşit olarak (DKLC), (CMNB), (BOPA), (ARSD) gibi birbirine eşit dört dikdörtgen çizelim. Bundan başka şeklîn A, B, C, D köşelerinde meydana gelen dört küçük karenin alanları toplamı: olacağı gibi, yeni meydana gelen karesinin alanı da 39 + 25 = 64 olur; yani bu karenin bir kenarının uzunluğu 8′e eşittir. Çünkü verilmiş denklem, x2 + 10 x = 39 dur. Bu neticeye göre Şey’ ile 5 sayısının toplamı 8′e eşit olur. Yani x + 5 = 8 denklemi yazılır. (Çünkü x + 5 = 8 dir). O halde aranılan Şey’ (bilinmeyen) x = 3 tür. Bu metod gösteriyor ki Şey’i veren formül: dür. I. Meselenin II. Tarz Çözümü: Bu metodda Mâl yine (ABCD) karesi ve Şey’de kenarlardan biridir. Bu sefer CK ve AE uzunluktan denklemdeki 10 kat sayısının yarısına eşit alınır ve (CKJB) ile (AEFB) dikdörtgenleri teşkil olunur. Buna göre şekilde taranmış alanlar toplamı x2 ile 10 x toplamına, yani 39′a eşit olur ve Kare (ABCD) + 2 Dikdörtgen (BCKJ) = 39 yazılır. Diğer taraftan, şeklin köşesinde meydana gelen (FBJI) karesi ?ki alanı 25V eşittir? de taranmış alanlara ilâve edilmekte, 39 + 25 = 64 Alan (EDKI karesi) eşitliğe yazılır ve ED = 8 bulunmuş olur. O halde aranılan Şey’: 8 ? 5=3 den ibarettir. II. Kısım II Mesele: x2 + B = Ax denklemi: Harzemî; bu mesele için Mâl ile 21 dirhem toplamının 10 Şey’e eşit olması misalini vermiştir. (Yani, x2 + 21 = 10 x denklemi). Burada Mâl’i temsil eden kare (ABCD) olsun. Yani Şey’ = X = AB alalım. Şimdi, bir kenarı, bilinmeyene eşit farzolunun (DEFC) dikdörtgeninin alanını, denklemdeki mutlak sayı olan 21 dirheme eşit alalım. Bu halde (AEFB) dikdörtgeninin alanı x2 + 21′e eşit olacağından verilen x2 + 21 = 10 x denklemi kurulur. (AEFB) dikdörtgeninin bir kenarının uzunluğu x olduğundan diğer kenarın uzunluğu 10′a eşittir. (Yani BF = 10 dur) Şimdi de, BF’nin orta noktası K olmak üzere (LEMN) karesini çizelim, bu karenin alanı 25′e eşittir. Bundan sonra da FP’yi AD’ye eşit alıp (PFMR) dikdörtgenini teşkil edelim, bunun alanının, (DLKC) dikdörtgeninin alanına eşitliği aşikârdır. Şekildeki (KPRN) karesine gelince onun da alanı: 25 ? 21 =4 tür. (DEFC) Alan (KLEFMRPK) = 21, ve Alan (NLEM) =25 olduğundan, Alan (KPRN) = 25 – 21 = 4 olur. Bu meselede de görülüyor ki, verilen denklemi tahkik eden 3 değeri, formülü ile bulunmuş oluyor. (Klâsik 2. derece denklem formülünün tek işaretli hâli). II. Kısım III. Meselesi: Bu meselede denklemin tipi X2 = AX + B dir. Harezmî’nin verdiği nümerik misal, 3 Şey’ ile 4 dirhemin bir Mâl’e eşit olması, yani X2 = 3X + 4 denkleminin çözümüdür. Burada da X2 yi temsil eden şekil (ABCD) karesi ve aranılan Şev’ de AB uzunluğudur. Karenin AB kenan üzerinde BK = 3 (Şey’ in katsayısı olan 3) alalım. Bu suretle teşkil olunacak (KTCB) dikdörtgeninin alanı; 3X eşit olacağı gibi (ADTK) dik dörtgeninin alanı da 4′e (denklemdeki mutlak sayı) eşit olur, çünkü verilen denklem, 3X + 4 = X2 dir. Şimdi KB nin N orta noktasını işaret etmek suretiyle (KLMN) karesini çizelim, bu karenin alanı: olur. Aynı suretle, bir kenan AN olan (ARSN) karesini teşkil edelim, meydana gelen (RDTP) dik dörtgeni, (LPSM) dik dörtgenine eşit olur. Çünkü, RD kenarı NB ye veya KN ye veyahut da LM’ye eşittir. RP kenarı ise LP ye eşittir. Çünkü her ikisi de AN-KN’ye eşittir. (Şekil 4) O halde (ARSN) karesinin alanı, (ADTK) dikdörtgeni ile (KLMN) karesinin alanı toplamına eşit olur. Bundan dolayı (ARSN) Haresinin alanı: olacağından bunun bir kenarı olan AN de, olur. Aranılan Şey1 AB uzunluğu olduğundan eşitliği bulunur. Görülüyor ki bu çizim yolu ile x bilinmeyenini vermek üzere: formülü kullanılmış demektir. Görüldüğü gibi Harzemî ikinci derece denklemlerinin pozitif köklerini veren orjinal bir çözüm metodu bulmuştur. Çünkü kendisinden önce birçok ilim adamı bu mevzuda çalışmalar yapmıştır. Kısaca hülasa edersek: I. Hippocrates (M.Ö. 460), denkleminin çözümünü veren geometrik bir yol göstermiştir II. Menaechmus (MÖ. 350), X3 =k kübik denklemini, y2 = bx, xy = ab (parabol, hiperbollerin kesiştirilmesiyle çözmüştür. III. Euclid (M.Ö. 300), x2 + ax = a ve x2 + ax = b2 denklemlerini geometrik metodla çözmüştür. VI. Archimedes (MÖ. 215), (De Sphaera et Cylindro, Lib, II) de, küreye dair bir problemi çözerken, orantısına veya, x3 + c2 b = cx2 kübik denklemine rastlamıştır. V. Heron (M.S. 50), 144 x (14 -x) = 6720 denklemini çözmüştür. VI. İzmirli Theon (MS. 125), x2 ? 2y2 = 1, belirsiz denkleminin çözümü için bir kaide vermiştir. VII. Diophantus (M.S. 275), x3 + x = 4x + 4 denklemini çözmüş ve bazı belirsiz ikinci derece denklemlerini (x2 ?Ay2 = 1, tipinde) hal ve münakaşa etmiştir. VIII. Aryabhatta (M.S. 510), ikinci derece denklemlerinin pozitif köklerini veren formülü bulmuştur. IX. Eutocius (M. S. 560), x3 + c2 b = cx2 denklemini koniklerinin kesiştirilmesi yolu ne çözmüştür. Harzemînin ise (M.S. 825) adı geçen bu meşhur eserinde, Cebirde sembolizm ve ikinci derece denklemlerin çözümleri için Rönesans matematikçilerine, ikinci derece cebrine dair yapılacak büyük işler bırakmayacak kadar sistematik çalışmaları vardır.
Kaynak:genbilim
Tags: Cebir İlmi ve Harezmi
Katagori: Matematik
Birçoğumuzun matematikle alâkası, sadece tahsil hayatımızda gördüğümüz derslerle sınırlı kalmıştır. Bir kısmımız mecbur olduğumuz için, bir kısmımız da ilgi duyduğu veya kabiliyeti olduğu için matematiği sevmiş olabilir. Fakat büyük çoğunluk, matematiğin hayatlarında pek kullanılmadığını veya kabiliyetlerinin ve çalışma alanlarının farklı olduğunu bahane edip matematiğe çekingen bir tavırla yaklaşır. Hattâ bir kısmımız, matematiği pek sevmez. {adsense_after_intro}İlk bakışta cebir, geometri, logaritma gibi adlarla alt bölümlere ayırdığımız matematiği zor bir ders kabul etsek de, farkında olmadan hayatımızın birçok alanında kullanıyor olmamız ve felsefenin ilk dönemlerinden itibaren “bütün ilimlerin anası” olarak kabul görmesi sebebiyle üzerinde durulmaya değer bir alandır. İnsanlar eşya ve hadiseleri yorumlarken, hayat karşısındaki duruş ve düşüncelerini yenilerken aslında hep matematiğin verileriyle hareket eder. Aşağıda anlatacağımız “aksiyom” ve “teorem” bunun en açık misalleridir. İşte bizler, matematiğe biraz da “matematik felsefesi” diyebileceğimiz bu zaviyeden bakabilirsek, onun çekinilecek bir saha olmadığını daha rahat kavrarız. Matematiğin temelini tanımlar teşkil eder. Aslında bir bakıma bütün bilimlerin temeli tanımlardır. Kullandığımız şeylerin ne olduğu (ne işe yaradığı, hangi özelliklerinin olduğu) tanımlarla ifade edilir. Matematik üzerine çalışma yapan öğrencilerin çoğunun tanımları hararetle tartıştığını çok sık görürüz. Bunun sebebi tanımlardaki küçük bir değişikliğin veya küçük bir yanlış anlamanın, pek çok şeyin değişmesine ve dolayısıyla yanlışların doğru ve doğruların yanlış olarak ortaya çıkmasına yol açabilecek olmasıdır. Bir şeyin tarifini yaparken başka şeyleri kullanmak gerekir. Meselâ ‘masa’nın tarifini yaparken ‘tahta’ veya ‘metal’ gibi pek çok kavramı kullanmamız gerekir. Bu durumda ‘Tahta nedir?’ veya ‘Metal nedir?’ sorularıyla karşılaşırız. Yani, henüz o an için tanımsız olan nesneleri tarif edip onların ne olduklarını öğrenmek isteriz. Tahtayı tanımlarken ağacı, metali tarif ederken de madeni kullandığımızda bu defa bunların ne olduğu sorusuyla karşılaşırız. Bu sorular böylece devam edip gider. Peki nereye kadar gider? Bir dilde sonsuz sayıda kelimenin bulunması imkânsızdır. Bir tanım yapmak için peş peşe gelen soruların cevabını ararken, sonlu sayıda olan bütün kelimeler tükendiğinde ne olacak? Günlük hayatta böyle peş peşe gelen sorularla karşılaştığımızda, “Ee, bunu da bil artık!” deyip bir yerde tanımlamayı keseriz. Yani gelinen son noktada, doğruluğunu ve ne olduğunu sorgulamadan bu kavramın herkes tarafından bilinmesini isteriz. Matematikte de doğruluğu sorgulanmadan kabul edilen bazı gerçekler vardır ve bunlara “aksiyom” adı verilir. Matematiğe katkıda bulunmak, hayret uyandıracak sonuçlara götürecek tarif ve aksiyomları düzenleyebilme kabiliyetine bağlıdır. Matematikte doğru bir hükmü bildiren ifadelere “teorem” denir. Tabii ki ilk önce bu ifadenin teorem olduğu bilinmemektedir. Tanım ve aksiyomlar kullanılarak bulunan bütün sonuçlar teoremdir. Doğru veya yanlış bir hüküm bildiren ifadelere “önerme” denir. Bu duruma göre teoremler doğru olan önermelerdir. Teoremi ve önermeyi tanımladıktan sonra, aslında teoremin “doğru bir hüküm bildiren önerme” olduğunu elde ettik; p ve q belli bir takım önermelerin teşkil ettiği topluluklar olsun. Teoremler genellikle p doğru olduğunda q’nun da doğru olduğu biçimindedir ve bu kısaca p=>q biçiminde gösterilir. Biraz matematiğin önermeler konusunu bilenler p=>q’nun doğru olmasının sadece p’nin doğru olması durumunda değil, p’nin yanlış olması durumunda da mümkün olduğunu bilirler. Fakat teoremlerdeki p=>q gösterimi sadece p doğru olduğunda q’nun da doğru olduğunun gösterileceği anlamındadır. Meselâ p önerme topluluğu p1, p2,…pn ve q önerme topluluğu q1, q2,…qm önermelerinden meydana geliyorsa, p=>q önermesi p1, p2,…pn önermeleri doğru iken, q1, q2,…qm önermelerinin de doğru olduğunu ifade eder. Bir teoremin doğru olduğunun gösterilmesine teoremi ispat etme denir. Teorem ispatlanırken matematik zekâsı ön plâna çıkar. p1, p2,…pn önermeleri ve daha önce verilen tanım ve aksiyomlar harmanlanarak q1, q2…qm önermeleri elde edilmeye çalışılır. p’yi doğru olarak kabul edip q’nun doğru olduğunu göstermede takip edilecek yol, yani teoremi ispatlamanın yolu, tek değildir. Hattâ iki farklı kişinin p’den q’yu elde ederken kullanacağı tanım ve aksiyomlar baştan sona farklı olabilir. Bu bir bakıma p noktasından q nok-tasına gitmenin bir benzeridir. Yukarıdaki şekilde p’den q’ya iki farklı yoldan gidilmiştir. Birinci yolda p doğruyken a1′in doğru olduğu, a1 doğruyken a2′nin doğru olduğu, a2 doğruyken a3′ün doğru olduğu, a3 doğru iken a4′ün doğru olduğu ve a4 doğru iken q’nun doğru olduğu gösterilmiş ve böylece p doğru iken q’nun da doğru olduğu elde edilmiştir. İkinci yolda p doğruyken b1′in doğru olduğu, b1 doğruyken b2′nin doğru olduğu ve b2 doğruyken q’nun doğru olduğu gösterilerek p doğru iken q’nun da doğru olduğu bulunmuştur. Burada hangi yolun teoremin ispatı için daha iyi olduğunu tartışmak anlamsızdır. “Her yiğidin bir yoğurt yiyişi vardır.” atasözü bu durumu açıklar. Kimine göre çok kısa olan bir yol başka birine göre çok uzun gelebilir. p’den bl elde edilirken kullanılan sonuçlar bilinmiyorsa, p=>b1 önermelerinin doğru olduğunu göstermek gerekir. Bu durum benzer biçimde diğer adımlara da aksedeceğinden birinci yolu iyi bilen birisi için ikinci yol daha da uzun olabilir. Matematikte tanımlar kesindir ve doğrulukları tartışılmaz, aksiyomların da doğruluğu tartışılmaz ve kabul edilir. O zaman tanım ve aksiyomları, doğruluğu tartışılmadan kabul edilen ifadeler olarak ele alırsak, matematiğin kaynağını kurmuş oluruz. Matematik, doğruluğu kabul edilen birtakım ifadelerden bulunabilecek bütün doğru ifadeleri bulmak için çalışır, yani bütün teoremlerin bulunması, matematiğin ve matematikçinin işidir. Bu anlamda matematik hem mücerret hem de müşahhas olarak yapılabilir. Meselâ; A1 ,A2 ,… Ak gibi k tane aksiyom ve bunları doğru kabul edip bunlar yardımıyla bulunabilecek bütün doğruları araştırmaya başlarsınız. Bulunabilecek bütün doğruların tamamına ulaşamasanız bile ulaştığınız kadarıyla matematik yapmış olursunuz. Burada kullandığınız A1 ,A2,… Ak aksiyomlarının doğruluğu asla tartışılmaz ve bunların doğru olduğu kabul edilir. Hayatta da bazı şeylerin bilindiğini kabul etmek gereklidir. Daha önce belirttiğimiz gibi kabul edilmiş gerçekler olmadığı takdirde masa tanımını bile vermek mümkün değildir. İşte size iki soru ve bu soruların cevaplarını aramakta müşahhas matematiğin bir örneği: 1. Hayatta doğru olarak kabul ettiğimiz gerçekler (hayatın aksiyomları ve tanımları) nelerdir? 2. Hayatın aksiyomları kullanılarak elde edilebilecek bütün neticeler nelerdir? Bu soruların cevaplarını bulmak için, yani bir bakıma hayatın matematiğini kurmak için, hayatın değişmeyen ve doğruluğu tartışılmadan kabul edilen gerçeklerine, kısacası hayatın aksiyomlarına ulaşmak şarttır. İnsanların koyduğu kanunlar, kaideler ve yönetmelikler zaman içinde değişmez mi? Bunlar her zaman doğru olabilirler mi? Cevabımız tabii ki “hayır” olacaktır. Çok değil, bundan elli yıl önceki kanunların, yönetmeliklerin ve kaidelerin pek çoğu bugün ilk çıktığı haliyle değildir, zaman içerisinde üzerlerinde birtakım değişiklikler yapma ihtiyacı hissedilmiştir. Şu da âşikârdır ki, elli yıl sonra da günümüzdeki kanun, yönetmelik ve kaidelerin pek çoğunda yine birtakım değişiklikler yapılacaktır. Belli bir zaman önce suç teşkil eden bazı faaliyetler, bir süre sonra suç olmaktan çıkabilmektedir. O halde hayatın aksiyomları olarak insanların koyduğu kuralları almak bu kurallar mutlak doğrular olmayacağı için mümkün değildir. Zaman içinde değişmeyen kurallar neler ise, hayat matematiğinin aksiyomları da bunlar olmalıdır. Bu aksiyomların neler olduğunu bulma gâyreti, insan olmanın en mühim faziletlerinden biridir.
Kaynak:genbilim
Tags: Matematik ve Hayat Üzerine
Katagori: Matematik
Dünyanın hemen her yerinde tabiatın bazı temel şekiller üzerinde yaratıldığı müşahede edilmektedir. Dairevi, spiral (helezoni), bilateral (1), spinal (iç içe geçmiş) veya poligonal (çokgen) şekillere bitkilerde, hayvanlarda, minerallerde, sıvılarda, hatta gazlarda dahi rastlamak mümkündür. Bu şekiller içinde şüphesiz ki daire en fazla görülenidir. Gezegenlerin güneş etrafında dönüşmeleri, çiçeklerin başları, volkanlar ve sayabileceğimiz pek çok şey dairevi olarak planlanmıştır. Ağacın filiz halinden yaşlılığına kadar gövdesinde oluşan iç içe geçmiş halkalar, yaprak damarları, kuş tüyleri spinal simetriye misal teşkil eder. Spiral şekiller ise su akıntılarında, bulutlarda, galaksilerde ve hayvan boynuzlarında görülür. Kar taneciklerinde, arı peteğinde ve bazı hayvanların vücutlarını kaplayan pullarda poligonal simetri göze çarpar.
Asıl hayret edileni, bu şekillerin birbirinden çok ve farklı organizma ve cansızlarda görülmesi karşısında, bunların alışılmış bir figür haline geldikleri için insan dimağınca gereğince takdir edilememesidir. Hatta daha harika olanı, bazı muayyen sayıların tabiatta ve sanatta karşımıza çıkmasıdır. ?Fibonacci Serisi? adını verdiğimiz ve bir sıra takip eden bu sayılar acib hususiyetlere sahiptir. Sıradaki her sayı kendinden önce gelen iki sayının toplanmasından şu şekilde teşekkül etmiştir ki: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… sayıları (0+1 = 1, 1+1 = 2, 1 + 2 = 3 …) hususiyetini gösterir. İki birbirini takip eden sayı arasındaki alaka (3?ten sonra) belli bir nispette izah edilebilir. Yani her sayı çiftinde büyük sayı küçük sayıdan belli bir nispette büyüktür. ?Altın Dikdörtgen? adını verdiğimiz ve mimarlıkta en dirençli kabul edilen, buutların oranı 1/1,6 ya eşit olan bu sayılar kümesi ve katları eski Yunan medeniyeti tarafından kabul edilmekle kalmamış, modern mimaride de en ideal nispet olarak tayin edilmiştir. Bu harikulade kaide, mimarinin anahtarı olduğu gibi Fibonacci sayıları tabiatta da çok tekerrür eden bir kanun olarak dikkati çekmektedir. Ayçiçeğinin ve papatyanın ortasını oluşturan ana çiçekçik sağ ve sol tarafa doğru dönerek spiraller oluşturan ve Fibonacci serisine uyan şekilciklerden teşekkül etmiştir. Aynı şey ananasta ve çam kozalağında da vardır. Üstelik Fibonacci serisinin sayı çiftleri çam kozalağının değişik nevilerinde farklı hususiyetler göstererek karşımıza çıkmakta ve bu meyvenin mukavemetini sağlamaktadır. Tabiatta dinamik şekiller olarak teşekkül eden spiral şekillere bulutları, galaksileri ve su akıntılarını misal olarak gösterebiliriz. Spiral hareketlerin statik misalleri için ana çiçekçiklere (papatya, v.s.), kozalaklara bakabiliriz. Spiral su akıntılarında yaşayan deniz kabuklarını spiral harikalar olarak görmekteyiz. Mükemmelliği izah eden ve oldukça eski bir sembol olan daire, dairevi simetrinin esasını teşkil eder. Bu şekle misal olarak gezegenlerin daireye yakın bir yörüngeyle güneşin etrafında dönmesini gösterebiliriz. Birçok çiçekler ve deniz yaratıkları da dairevi bir şekilde, canlının merkezinden dışa doğru gelişme göstererek büyürler. Daireyi üç buutlu olarak ele alırsak küre meydana gelir ki buna dünyamızın şekli, suyun serbest bir durumda su damlacığı haline girmesi misaldir. Muhteşem sanatkâr kemaliyle tecelli ederek gökleri mükemmel yaratmıştır. Mükemmel şekil ise küredir. Onun için Kâinatta her şey kürelerden yaratılmıştır. İnsanlarda, bitkilerde ve meyvelerde gördüğümüz bu mükemmellik ve bu incelik kendi kendine olamayacağından insan vicdanı, insan aklını eşsiz bir mimarın varlığını tasdike zorluyor. (AMAZING WORLD OF NATURE?dan derlenmiştir.)
Tags: Harika Motifler
« Older Entries
