Kendini tekrarlayan hangi düzlemsel şekillerle bir yüzey tam olarak kaplanabilir? Biliyoruz ki eşkenar üçgenlerle, dörtgenlerle, düzgün altıgenlerle periyodik kaplama yapılabilir. Penrose, periyodik olmayan (yani kendini tekrarlamayan) düzlem kaplaması veren binlerce farklı şekil üzerinde yıllarca çalıştıktan sonra, bunlardan bağımsız olanların sayısını önce altıya sonra ikiye indirmeyi başardı.Penrose şekilleri ünlü Hollandalı grafik sanatçısı Escher’e de esin kaynağı olmuştur. Penrose, salt matematik merak nedeniyle bulduğu bu şekillerin sonradan kristalimsi denen kimyasal maddelerin niteliklerinin açıklanmasında kullanılmıştır.

Kaynak:genbilim

Tanım (2)İki ya da daha çok şey arasındaki karşılıklı ilişki, ilinti, °münasebet. Eşyayı, kavramları ya da tasarımları birlik, bağlılık, birliktelik gibi durumlarda toplayan görünüş ya da nitelik, görelik, °izafiyet, °rölativite. Daha genel olarak, birbirinden farklı olması gerekmeyen n küme (A1,A2,…,An) arasındaki n ‘li bağıntı (?), bu kümelerin kartezyen çarpımının herhangi bir alt kümesidir. n, iki ise ikili bağıntı olarak adlandırılır.

Örnekler Evlilik ilişkisi A={Ayşe, Fatma, Esra, Ali, Veli, Ahmet, Mehmet} A ile A arasındaki hayali bir evlilik ilişki (E) aşağıdaki gibi olabilir: E={(Ayşe, Ali), (Ali, Ayşe), (Esra, Mehmet), (Mehmet, Esra)} Buna göre A kümesinin elemanlarından, Ayşe ve Ali, Esra ve Mehmet evlidir. [değiştir] Yaşça büyüklük ilişkisi Bütün ilişkiler simetrik olmak zorunda değildir. Örneğin K kümesinden, yaşça büyüklük ilişkisi (B) şöyle olabilir. K={Ayşe, Fatma, Esra} B={(Fatma, Ayşe), (Fatma, Esra), (Esra, Ayşe)} Bu ilişkiye göre yaş sıralaması büyükten küçüğe Fatma, Esra, Ayşe şeklindedir. [değiştir] Ayrıca Bakınız Küme Denklik bağıntısı Sıralama bağıntısı Gönderme (Fonksiyon) İlişkisel cebir

Kaynak:genbilim

Arap sayılarının ve sıfır kavramının abaküs yardımıyla geliştirilmesi tarih öncelerine gitmekle beraber, halen dünyanın değişik bölgelerinde özellikle okul öncesi çağdaki çocukların matematiksel zekasını geliştirmek amacıyla kullanılmaktadır. Çağdaş hesap makinelerinin ve bilgisayarların atası sayılan hesap aygıtı olan Abaküs’te amaç 4 ana matematiksel işlem olan toplama, çıkarma, çarpma ve bölme yapmaktır. Babilliler’in buluşu olan abaküs, yüzyıllar boyunca ticarette büyük önem taşımıştır. Abaküsün temeli Girit ve Miken’e dayanmakta ve ilk abaküs örneklerinin hemen hepsinde Girit ve Miken süsleme sanatından örnekler da bulumaktadır. İlköğretim sınıflarında matematik dersine yardımcı olması amacıyla da kullanılır.Abaküs, Aritmetik hesaplamaları yapmaya yardımcı bir alet. En iyi bilinen biçimi (Çinlilerin Suan Pan’ı) dikdörtgen bir çerçevenin içine gerilmiş teller üstüne inciler dizilmesiyle oluşturulan abak, başlangıçta toprağın içine açılan sıra sıra oluklara dizilen taşlardan oluşmaktaydı. Daha sonraları, yuvarlık bilye büyüklüğünde metal top ya da boncukların paralel çubuklar ya da teller üstünde hareket ettikleri biçimi almıştır. Her boncuk ya da metal topçuğun değeri, büyüklüğüne değil konumuna bağlıdır; belirli bir çizgi üstündeki taşın ya da belirli bir tel üstündeki incinin (boncuğun,topçuğun, vb.) değeri 1, iki tanesi birlikte olunca 2 olur. Bundan bir sonraki tel 10, üçüncü sıradaki tel 100 olarak değerlendirilir. Böylece ikisi 1 değerinde ve biri 10 değerinde üç dizi taş 12′yi, 100 değerindeki bir dördüncü topçuk eklenince de 112′yi gösterir. Yani topçuk ya da boncuğun yeri, değerini belirler ve çok büyük sayılar bile birkaç topçu ya da boncukla gösterilebilir. Topçuklar bir yöne kaydırılarak işlem yapılır; elde edilen değeri silmek, yani topçuğu bir sonraki kullanıma hazırlanmak istenirse, tersi yönünde kaydırmak gerekir. Abak, görünüşte basitliğine karşın, toplama makineleri, elektronik hesap makineleri ve bilgisayarların hazırlanmasına katkı bulunmuştur. Köken bilimi Abaküs, Latince abacus sözcüğünden gelir. Türkçeye ise Fransızcadan geçmiştir. Latincede asıl anlamı masa, pano veya tablo, ikinci anlamı hesap tahtasıyken; Antik Yunancada ábaks masa, tabla anlamlarında kullanılmıştır.

Kaynak:genbilim

Diziler, terimleri arasındaki ilişkiye göre de sınıflandırılabilir. Sözgelimi a1, a2, ?, an, an+1-an dizisinde an+1 sayısı diğer sayılar gibi sabitse bu diziye aritmetik dizi ya da ardışık dizi denir. an+1/an oranı sabitse geometrik dizi olarak adlandırılır. Örneğin, (2, 6, 18, 54, ?) dizisi sabit oranı 3 olan bir geometrik dizidir. Sonsuz dizilerin bazı türleri bir sınır değere yaklaşabilir. Sözgelimi 1, 1/2, 1/3, 1/4, ?, 1/n dizisinde n sonsuza yaklaştıkça sıfır sınırına ulaşılır. Bir dizinin sınırı (limit) önemli bir matematiksel kavramıdır.

Kaynak:genbilim

Batı?da Nasirettin Tusi?den büyük ölçüde yararlanan Regiomontanus?un Üçgen Üstüne adlı eseriyle gerçek trigonometri doğmuş oldu. François Viète ve Simon Stevin, hesaplarda ondalık sayılardan yararlandılar. John Napier logaritmayı işe kattı. Isaac Newton ve öğrencileri trigonometri fonksiyonlarının ve logaritmalarının hesabına tam serileri uyguladılar. Daha sonra da Leonhard Euler, birim olarak trigonometrik cetvelin yarıçapını alarak, modern trigonometrinin temellerini attı. Çembersel trigonometri Çembersel trigonometride, on sekiz boyutlu düzlemde (ve üçü de aynı doğru üzerinde yer almayan) üç noktayı doğru parçalarıyla ikişer ikişer birleştirerek oluşturulan düzlemsel üçgenler söz konusudur. Küresel trigonometride ise, üç boyutlu kürenin iki boyutlu olan yüzeyinde (ve üçü de aynı büyük çember üzerinde yer almayan) üç noktayı büyük çember yaylarıyla ikişer ikişer birleştirerek oluşturulan küresel üçgenler söz konusudur. Küresel trigonometri Eski Yunanda astronomiye ilişkin gereksinimleri karşılamak amacıyla ortaya çıktı ve gelişti. Küresel trigonometri aslında düzlemsel trigonometriyi de tümüyle içerir, ama düzlemsel trigonometri ancak 15. yüzyıl Avrupa’sında, topografya, ticaret ve denizciliğin gereksinimleri doğrultusunda kendi başına ve küresel trigonometriden bağımsız olarak gelişmiştir. Küresel trigonometri, düzlemsel geometriden daha önce ortaya çıkıp gelişmiş olmakla birlikte, ancak düzlemsel geometrinin temel ilkelerinin bilinmesiyle daha iyi anlaşılabilir. Düzlemsel trigonometri aslında her tür düzlemsel üçgen için geçerli olmakla birlikte, bağıntılar genellikle dik üçgenlerde tanımlanır. Açılarından biri (x) 0° ile 90° arasında olan bir dik üçgenin (düzlemsel bir üçgende iç açıların toplamı 180° olduğu için) öteki açısı 90-x’e eşittir. Böyle bir üçgende dik açının karşısındaki kenar |OD| hipotenüs, O ‘nun karşısındaki kenar |CD| karşı kenar, |OC| ‘ya komşu olan kenar ise komşu kenar olarak adlandırılır. Bu kenarlar birbirlerine ikişer ikişer altı farklı biçimde oranlanabilir, böylece A açısının trigonometrik fonksiyonları tanımlanmış olur. Açı Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimine açı denir. [OA ve [OB ışınlarına açının kenarları, O noktasına ise açının köşesi denir. Trigonometrinin kullanım alanları Trigonometri birçok fen biliminde, matematiğin diğer alanlarında ve çeşitli sanatlarda yaygın bir biçimde kullanılmaktadır. Trigonometriyi kullanan bazı dallar şunlardır: jeofizik, kristalografi, ekonomi (özellikle de finansal pazarların analizinde), elektrik mühendisliği, elektronik, jeodezi, makine mühendisliği, meteoroloji, müzik kuramı, sayı kuramı (ve dolayısıyla kriptografi), oşinografi (okyanus bilimi), farmakoloji (eczacılık), optik, fonetik, olasılık kuramı, psikoloji, sismoloji… Trigonometri yukarıda örneklendiği gibi birçok farklı alana farklı katkılarda bulunmuştur. Örneğin Pisagor kuramının isim babası Pisagor matematiksel müzik kuramına ilk katkıda bulunan isimlerdendir. Oşinografide bazı dalgaların sinüs dalgalarına benzerliği ilgili incelemelerde trigonometrinin kullanımına olanak tanımıştır. Bunun dışında Fourier serileri sayesinde trigonometrik fonksiyonlar farklı fonksiyonları temsil etmekte kullanılırlar ve bu sayede trigonometri birçok farklı dalda kullanım olanağı bulmuştur. Böylece ısı akışı ve difüzyon başta olmak üzere özellikle periyodik özellik gösteren kavramların incelendiği birçok dalda ve fenomende trigonometrik fonksiyonlar kullanılabilmiştir; akustik, radyasyon ve elektronik gibi.

Kaynak:genbilim

Birçok toplumbilimci bir veya birden fazla uzmanlık alanında çalışır: toplumsal organizasyon, toplumsal tabakalaşma, toplumsal hareketlilik; ırksal ve etnik ilişkiler;eğitim, aile; toplumsal psikoloji,şehir, kırsal, politika, ve karşılaştırmalı toplumbilim; cinsiyet rolleri ve ilişkiler; demografi; yaşlılık; suç bilimi; ve toplumsal uygulamalar. Toplumbilim büyük oranda Comte’nin toplumbilimin ergeç bilimin bütün diğer alanlarını içine alacağı inancına yaslanarak gelişse de, sonuçta, toplumbilim diğer bilimlerin yerine geçmedi.Bunun yerine, toplumbilim diğer toplumsal bilimlerle özdeşletirilme noktasına geldi. Günümüzde, çoğunlukla karşılaştırmalı bir yöntem kullanarak, insan türünün organizasyonlarını, toplumsal kurumlarını ve bunların toplumsal etkileşimlerini incelemektedir. Disiplin özellikle karmaşık sanayi toplumlarına odaklanmıştır. Toplumbilimciler son zamanlarda antropologlardan aldıkları ipuçları ile, bu alandaki “Batı Vurgusu”nu belirtmektedirler. Tepki olarak ise yeryüzündeki birçok toplumbilim bölümü çok kültürlü ve çok uluslu çalışmaları desteklemektedir. Günümüzde, toplumbilimciler, toplumu düzenleyen ırk veya etnisite, sosyal sınıf, cinsel rolleri ve aile gibi kurumları; suç ve boşanma gibi bu yapıların ayrılma ve bozulmasını temsil eden toplumsal işleyişleri ve benzeri kişiler arası etkileşimler gibi mikro-işleyişleri ve bireylerin toplumsallaşmaları, gibi mikro- toplumsal yapıları araştırmaktadırlar. Toplumbilimciler sıklıkla toplumsal ilişkilerdeki kalıpları açıklamak ve toplumsal değişimi belirlemeye yardım edecek modeller geliştirmek için toplumsal araştırmanın kantitatif yöntemine dayanırlar.Toplumbiliminin belli dalları ise – odaklanarak yapılan görüşmeler, grup tartışmaları ve etnografik yöntemler gibi yöntemelerin- sosyal işleyişlerin daha iyi anlaşılmasını sağladığını düşünmektedir.Orta yolu bulmak isteyen bazı toplumbilimciler ise kantitatif ve kalitatif yaklaşımların birbirini tamamlayıcı olarak kullanılmasını tartışmaktadır. Bir yaklaşımdan elde edilen sonuçlar diğer taraftaki açıkları kapatabilir. Mesela kantitatif yöntemler büyük ve geniş kalıpları tanımlarken kalitatif yaklaşımlar bireylerin bu kalıpları nasıl anladıklarını anlamamıza yardımcı olabilir. [değiştir] Toplumsal Araştırma Yöntemleri Toplumbilimcilerin, soru formları veya toplumsal yöntemler araştırma anketi, görüşmeler,katılımcı gözlem, istatistik araştırması, değerlendirme araştırması ve test, anket vb belge tabanlı değerlendirme gibi çalışmaları içeren kuramsal olmayan bulguları bir araya getirmek için kullandığı birçok ana yöntem vardır. Bu yaklaşımların hepsinin sorunu bunların, araştırmacının bunların gözünde gördüğü toplumu nasıl çözümlediği ve anladığını uyarlamaya çalıştığı kuramsal konuma dayanıyor olmasıdır. Eğer Émile Durkheim gibi işlevselci ise, araştırmacı herşeyi büyük ölçekli toplumsal yapıların terimleriyle açıklaması muhtemeldir. Bir sembolik etkileşimci büyük olasılıkla insanların birbirini nasıl anladığına yoğunlaşacaktır. Bir marksist ya da neo-marksist bir araştırmacı ise muhtemelen herşeyi sınıf mücadelesi ve ekonomi süzgecinden geçirecektir. Fenomenciler ise insanların gerçeğin onlara göre anlamlarını kurguladıkalrı tek bir yol ve başka hiç bir şey olmadığını düşünmeye eğilimlidirler. Gerçek sorunlardan biri ise birçok toplumbilimcinin bir tek kurumsal yaklaşımın doğru olduğu ve bunun da kendilerinki olduğunu tartışmalarıdır. Uygulamada, toplumbilimciler sıklıkla, her yöntem özel data tipleri ürettiği için farklı yaklaşımları ve yöntemleri karıştırıp eşleştirmektedir. İnternet üç açıdan toplumbilimcilerin ilgi alanındadır: mesela kâğıt üzerindeki anketler yerine çevrimiçi anketleri kullanmak adına bir araştırma aracı olarak, bir tartışma platformu olarak ve bir araştırma konusu olarak. Internet toplumbilimi, çevrimiçi toplulukların (ör:haber grupları) çözümlemesini, sanal toplulukları ve dünyaları,internet gibi yeni medyalar ekseninde çözünen organizasyonel değişimleri ve sanayi toplumundan bilgiye dayalı topluma (veya bilgi toplumuna) doğru yaşanan dönüşümde geneldeki toplumsal değişimi içermektedir. [değiştir] Diğer Toplum Bilimleri 20.yy’ın başlarında sanayi toplumu üzerinde araştırma yapan toplumbilimciler ve psikologlar antropolojinin gelişimine katkıda bulundular. Antropologlar da sanayi toplumları üzerinde araştırmalar yaptılar. Günümüzde toplum bilim ve antropoloji çalışma nesnelerinden ziyade farklı kuramsal içerik ve yöntemlere göre daha iyi bir şekilde farklılaşmışlardır. Sosyalbiyoloji görece olarak hem toplumbiliminden hem de biyolojiden kaynaklanan yeni bir alandır. Bu alan ilk önce çok hızlı bir kabul görse de, toplumsal davranış ve yapıların evrimsel ve biyoloijik işleyişlerle açıklama yolları aramasından dolayı tepki topladı. Toplumbilimciler sıklıkla davranışı tanımlamada genlerin etkilerini çok fazla dayanak göstermeleri yönünden eleştirilmektedirler. Ne var ki toplumbilimciler sıklıkla doğa ve yetiştirme arasında karışık bir ilişki olduğuna atıfta bulunarak yanıt verirler. Bu anlanmda sosyalbiyoloji fiziksel antropoloji, zooloji, evrimsel psikoloji, insan davranışsal ekoloji ve ikili kalıtım kuramı ile yakın ilişki içersindedir. Bununla birlikte, bu alanda çalışanların çoğu için, büyük oranda bu alanın düşünceleri kabul edilebilirdir, çünkü toplumsal yapılar için biyolojik temeller bulmak toplumsal yapıların nadir ve isteğe bağlı olduğunu ifade eden birçok toplumsal kuramın önerme ve çıkarımlarına karşı gelmektedir. Toplumbilim toplumsal psikoloji ile bazı bağlantıları vardır ancak ilki toplumsal yapılarla ilgili iken ikincisi toplumsal davranışlarla ilgilidir.

Kaynak:genbilim

Kaynak:genbilim

Harzemî, matematiğin geniş bir dalı olan cebirin temellerini atmıştır. Cebir mevzularını içine alan eseri, bütün dünyada cebir ilmine ad olmuştur. Harzemî, cebir bakımından Öklid’den 1000 yıl ileridedir. Cebirle ilglii meşhur eserinin adı: “El’Kitab’ül-Muhtasar fi Hısab’il – Cebri ve’l-Mukabele” dir. 12 asır önce yazılan bu eser cebir sistemlerine ait kaide ve teoremler ile yeni çözüm yollarını mevzu edinir. Bu eser Doğu ve Batı ilim dünyasında ilk müstakil cebir kitabı olma şerefini kazanmıştır. El Cebr ve’l – Mukabeleyi Harzemî 830 yılında şark seyahatin dan döndüğünde Halife Memun’un isteği üzerine Arapça olarak hazırlamıştır. 1145 yılında zamanın ilim dili olan Latinceye çevrilmiş ve Müsteşrik F. Rosen tarafından “The Algebre Muhammed Bin Musa” adlı tercümesi 1831 yılında Arapça metni ile birlikte Londra’da yayınlanmıştır. Eser, medenî muâmelat, arazi Ölçümü, bina yapımı ve kanal hafriyatında rastlanan pratik meseleleri cebir yolu ile halle yarayacak karekterde umuma mahsus olarak kaleme alınmıştır. Eser, bir önsöz ile beş esas bölüm ve bir de ek bölümden meydana gelmiştir. Birinci Kısım: Birinci ve ikinci dereceden altı ayrı tipten denklemin (muadele) geometrik yolla çözüm metodunu ihtiva eder: 1) x2 = a, 2) x2 = bx, 3) ax = b, 4) x2 + ax = b, 5) x2 + b = ax, 6) x2 = ax + b Bu bölümün ikinci kısmında: (a ± x) ve (b ± x) gibi “Binom Formüllerinin” çarpım kaideleri de vardır. Ayrıca, ikinci dereceden tam olmayan üç ayrı tip denklemin (muadele) tamamen kendisine mahsus değişik çözüm yollan belirtilmiştir. İkinci Kısım: İkinci dereceden tam olmayan denklemlerin geometrik çözümünü mevzu edinir. Her tip denklem için iki ayrı çözüm yolu göstermiştir. Bu çözüm yollarından birincisi geometrik çözüm yolu olup, bugünkü cebirde “Kare ve dikdörtgen metodu” denmektedir. Bu çeşit bir çözüm yolunu, ne eski Mısır ve Mezepotamya, ne de eski Yunan ve eski Hind matematiğinde görmek mümkün değildir. Harzemî’nin bu çözüm şekli, matematikte cebir ile geometri arasında bir nevi yakınlık kurmayı hedef tutan araştırmanın ilk mahsulüdür. Üçüncü Kısım: Birer terimi bilinmeyen iki terimli bir çarpanın neticesinin nasıl bulunacağını mevzu edinir. Burada, çarpanlara ayırma ve “özdeşlik” nevinden hususiyetleri görmek mümkündür : (x + a) (x + b), (x + a) (x – b), (x – a) (x + b), (x ? a) (x ? b) … çarpım durumlarını incelemiştir. Dördüncü Kısım: gibi işlemlerin çözüm kaidelerini ve çözüm yollarını belirtir. Beşinci Kısım: Cebirle çözülebilecek bazı problemlere ayrılmıştır. İki misal verelim : a) 10 sayısını öyle iki kısma ayırınız ki, bunların kareleri toplamı 58′e eşit olsun. b) 10 sayısını öyle İki kısma ayırınız ki bunların kareleri farkı 40 sayısına eşit olsun. Eserin son ek bölümünde de; devri, için gerekli olan, amelî ve tatbikî hesaplama şekilleri, zamanın hükümet işlerine ait hesapların yapılması, kanalların açılması, bina inşaatı, esnaf, tüccar ve ölçme memurları için gerekli hesapların cebirle çözüm yolları, Hint sayı işaretleri, vasiyet memurları için gerekli olan Kur’ân-ı Kerim’deki miras hukuku uygulamasını hem aritmetik hem de cebir yolu ile çözümlenecek şekilde, gerekli çözüm yollarını misalleriyle beraber gösterir. Harzemî’nin; cebir kelimesini matematiği ithâl edip, matematikte geniş bir dal olan cebiri, metodik ve sistematik hâle getiren; ikinci derece denklemlerin pozitif köklerini veren orijinal bir çözüm metodunu ilk olarak ortaya koyan; ikinci derece denklemler için, bugün “kare ve dikdörtgen metodu” denilen “grafik metodla” yani geometrik yolla çözüm yollarının, gerçekleştirilmesini cebire ilk olarak kazandıran “Kitabü’l- Cebr ve’l- Mukabele” si üzerinde bir nebze daha durarak bazı tahliller yapalım: Cebir kelimesi Arapça’da kırık olan bir şeyi doğrultmak manasına gelir. Hattâ kırık ve çıkık olan bir uzva sarılan tahtalara cebire denilir. Matematikte cebir, bir kesri tam kılma karşılığı olarak alınmıştır. Harzemî ise, cebir ve mukabele tabirini şu mânada almıştır: Cebir, bir eşitliğin bir tarafındaki negatif işaretli terimleri diğer tarafa geçirmektir (eşitliğin her iki tarafında pozitif işaretli terimler kalacak şekilde). Mukabele ise, benzer terimlerin irca’ ve ıslâhıdır. Meselâ: Matematik tarihinde Ömer Hayyam’ın “yaklaşık kare kök formülü” adını alan münasebeti, cebir ile şeklini alır. Yukardaki formülün mukabelesi olmaz, çünkü benzer terimler yoktur. Hayyam’ın yukarıdaki formülü, (a + b)2 = a2 + (2a + b) b, özdeşliğinin yaklaşık bir ifadesi olarak aldığı anlaşılıyor. Cebir ve Mukabelenin Birinci Kısmı başta ele aldığımız gibi, “Durûbu Sitte” veya “Mesaıl-ı Sitte” dediği altı denklemin çözüm kaidelerini isbatsız olarak ihtiva eder. İkinci Kısım, İlim Tarihi bakımından en orijinal olanıdır. Bu bölümde ikinci dereceden tam olmıyan denklemlerle, aşağıdaki üç tip denklemin geometrik (ki biz buna Kare ve Dik dörtgenler metodu diyeceğiz) çözümlerinden bahsedilmektedir: I. x2+Ax=B II. x2 + B= Ax III. x2 =Ax + B Harzemî bilinmeyen mikdara Şey; Şey’in karesine Mâl; Mâl’in Şey ile çarpımına, Kâab demiş ve bunları sırasiyle “Ş, M, K” harfleriyle göstermiştir. Şimdi bu kısmın meselelerini modern harf ve sembolleri kullanarak çözelim: I. x2+Ax=B Bu denklem için Harzemî’nin verdiği misal: Bir Mâl ile 10 Şey’ toplamının 39 dirheme eşitliğini temin edecek şeyin belirtilmesi yani x2+10x=39 denkleminin çözümünün tayinidir. Harzemî, yukarda-ki üç tip meselenin çözümü için ayni geometrik metodu kullanmıştır. Şöyleki; daima mâlum farz olunan Mâl, bir kare ile temsil olunur ve verilen denklemin şartlarına (kat sayılarına) göre, Şey’ belirtilir. Harzemî verilen denklemi iki tarzda çözmüştür. Birinci tarz: Farzedelim ki Mâl, ABCD karesiyle gösterilmiş olsun. Bu karenin kenar uzunlukları Şey’e eşit olacaktır. Şekilde DK’yı, Şey’in yanındaki sayı (katsayı) olan 10′un dörtte birine eşit olarak (DKLC), (CMNB), (BOPA), (ARSD) gibi birbirine eşit dört dikdörtgen çizelim. Bundan başka şeklîn A, B, C, D köşelerinde meydana gelen dört küçük karenin alanları toplamı: olacağı gibi, yeni meydana gelen karesinin alanı da 39 + 25 = 64 olur; yani bu karenin bir kenarının uzunluğu 8′e eşittir. Çünkü verilmiş denklem, x2 + 10 x = 39 dur. Bu neticeye göre Şey’ ile 5 sayısının toplamı 8′e eşit olur. Yani x + 5 = 8 denklemi yazılır. (Çünkü x + 5 = 8 dir). O halde aranılan Şey’ (bilinmeyen) x = 3 tür. Bu metod gösteriyor ki Şey’i veren formül: dür. I. Meselenin II. Tarz Çözümü: Bu metodda Mâl yine (ABCD) karesi ve Şey’de kenarlardan biridir. Bu sefer CK ve AE uzunluktan denklemdeki 10 kat sayısının yarısına eşit alınır ve (CKJB) ile (AEFB) dikdörtgenleri teşkil olunur. Buna göre şekilde taranmış alanlar toplamı x2 ile 10 x toplamına, yani 39′a eşit olur ve Kare (ABCD) + 2 Dikdörtgen (BCKJ) = 39 yazılır. Diğer taraftan, şeklin köşesinde meydana gelen (FBJI) karesi ?ki alanı 25V eşittir? de taranmış alanlara ilâve edilmekte, 39 + 25 = 64 Alan (EDKI karesi) eşitliğe yazılır ve ED = 8 bulunmuş olur. O halde aranılan Şey’: 8 ? 5=3 den ibarettir. II. Kısım II Mesele: x2 + B = Ax denklemi: Harzemî; bu mesele için Mâl ile 21 dirhem toplamının 10 Şey’e eşit olması misalini vermiştir. (Yani, x2 + 21 = 10 x denklemi). Burada Mâl’i temsil eden kare (ABCD) olsun. Yani Şey’ = X = AB alalım. Şimdi, bir kenarı, bilinmeyene eşit farzolunun (DEFC) dikdörtgeninin alanını, denklemdeki mutlak sayı olan 21 dirheme eşit alalım. Bu halde (AEFB) dikdörtgeninin alanı x2 + 21′e eşit olacağından verilen x2 + 21 = 10 x denklemi kurulur. (AEFB) dikdörtgeninin bir kenarının uzunluğu x olduğundan diğer kenarın uzunluğu 10′a eşittir. (Yani BF = 10 dur) Şimdi de, BF’nin orta noktası K olmak üzere (LEMN) karesini çizelim, bu karenin alanı 25′e eşittir. Bundan sonra da FP’yi AD’ye eşit alıp (PFMR) dikdörtgenini teşkil edelim, bunun alanının, (DLKC) dikdörtgeninin alanına eşitliği aşikârdır. Şekildeki (KPRN) karesine gelince onun da alanı: 25 ? 21 =4 tür. (DEFC) Alan (KLEFMRPK) = 21, ve Alan (NLEM) =25 olduğundan, Alan (KPRN) = 25 – 21 = 4 olur. Bu meselede de görülüyor ki, verilen denklemi tahkik eden 3 değeri, formülü ile bulunmuş oluyor. (Klâsik 2. derece denklem formülünün tek işaretli hâli). II. Kısım III. Meselesi: Bu meselede denklemin tipi X2 = AX + B dir. Harezmî’nin verdiği nümerik misal, 3 Şey’ ile 4 dirhemin bir Mâl’e eşit olması, yani X2 = 3X + 4 denkleminin çözümüdür. Burada da X2 yi temsil eden şekil (ABCD) karesi ve aranılan Şev’ de AB uzunluğudur. Karenin AB kenan üzerinde BK = 3 (Şey’ in katsayısı olan 3) alalım. Bu suretle teşkil olunacak (KTCB) dikdörtgeninin alanı; 3X eşit olacağı gibi (ADTK) dik dörtgeninin alanı da 4′e (denklemdeki mutlak sayı) eşit olur, çünkü verilen denklem, 3X + 4 = X2 dir. Şimdi KB nin N orta noktasını işaret etmek suretiyle (KLMN) karesini çizelim, bu karenin alanı: olur. Aynı suretle, bir kenan AN olan (ARSN) karesini teşkil edelim, meydana gelen (RDTP) dik dörtgeni, (LPSM) dik dörtgenine eşit olur. Çünkü, RD kenarı NB ye veya KN ye veyahut da LM’ye eşittir. RP kenarı ise LP ye eşittir. Çünkü her ikisi de AN-KN’ye eşittir. (Şekil 4) O halde (ARSN) karesinin alanı, (ADTK) dikdörtgeni ile (KLMN) karesinin alanı toplamına eşit olur. Bundan dolayı (ARSN) Haresinin alanı: olacağından bunun bir kenarı olan AN de, olur. Aranılan Şey1 AB uzunluğu olduğundan eşitliği bulunur. Görülüyor ki bu çizim yolu ile x bilinmeyenini vermek üzere: formülü kullanılmış demektir. Görüldüğü gibi Harzemî ikinci derece denklemlerinin pozitif köklerini veren orjinal bir çözüm metodu bulmuştur. Çünkü kendisinden önce birçok ilim adamı bu mevzuda çalışmalar yapmıştır. Kısaca hülasa edersek: I. Hippocrates (M.Ö. 460), denkleminin çözümünü veren geometrik bir yol göstermiştir II. Menaechmus (MÖ. 350), X3 =k kübik denklemini, y2 = bx, xy = ab (parabol, hiperbollerin kesiştirilmesiyle çözmüştür. III. Euclid (M.Ö. 300), x2 + ax = a ve x2 + ax = b2 denklemlerini geometrik metodla çözmüştür. VI. Archimedes (MÖ. 215), (De Sphaera et Cylindro, Lib, II) de, küreye dair bir problemi çözerken, orantısına veya, x3 + c2 b = cx2 kübik denklemine rastlamıştır. V. Heron (M.S. 50), 144 x (14 -x) = 6720 denklemini çözmüştür. VI. İzmirli Theon (MS. 125), x2 ? 2y2 = 1, belirsiz denkleminin çözümü için bir kaide vermiştir. VII. Diophantus (M.S. 275), x3 + x = 4x + 4 denklemini çözmüş ve bazı belirsiz ikinci derece denklemlerini (x2 ?Ay2 = 1, tipinde) hal ve münakaşa etmiştir. VIII. Aryabhatta (M.S. 510), ikinci derece denklemlerinin pozitif köklerini veren formülü bulmuştur. IX. Eutocius (M. S. 560), x3 + c2 b = cx2 denklemini koniklerinin kesiştirilmesi yolu ne çözmüştür. Harzemînin ise (M.S. 825) adı geçen bu meşhur eserinde, Cebirde sembolizm ve ikinci derece denklemlerin çözümleri için Rönesans matematikçilerine, ikinci derece cebrine dair yapılacak büyük işler bırakmayacak kadar sistematik çalışmaları vardır.

Kaynak:genbilim

Kaynak:genbilim

Asıl hayret edileni, bu şekillerin birbirinden çok ve farklı organizma ve cansızlarda görülmesi karşısında, bunların alışılmış bir figür haline geldikleri için insan dimağınca gereğince takdir edilememesidir. Hatta daha harika olanı, bazı muayyen sayıların tabiatta ve sanatta karşımıza çıkmasıdır. ?Fibonacci Serisi? adını verdiğimiz ve bir sıra takip eden bu sayılar acib hususiyetlere sahiptir. Sıradaki her sayı kendinden önce gelen iki sayının toplanmasından şu şekilde teşekkül etmiştir ki: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… sayıları (0+1 = 1, 1+1 = 2, 1 + 2 = 3 …) hususiyetini gösterir. İki birbirini takip eden sayı arasındaki alaka (3?ten sonra) belli bir nispette izah edilebilir. Yani her sayı çiftinde büyük sayı küçük sayıdan belli bir nispette büyüktür. ?Altın Dikdörtgen? adını verdiğimiz ve mimarlıkta en dirençli kabul edilen, buutların oranı 1/1,6 ya eşit olan bu sayılar kümesi ve katları eski Yunan medeniyeti tarafından kabul edilmekle kalmamış, modern mimaride de en ideal nispet olarak tayin edilmiştir. Bu harikulade kaide, mimarinin anahtarı olduğu gibi Fibonacci sayıları tabiatta da çok tekerrür eden bir kanun olarak dikkati çekmektedir. Ayçiçeğinin ve papatyanın ortasını oluşturan ana çiçekçik sağ ve sol tarafa doğru dönerek spiraller oluşturan ve Fibonacci serisine uyan şekilciklerden teşekkül etmiştir. Aynı şey ananasta ve çam kozalağında da vardır. Üstelik Fibonacci serisinin sayı çiftleri çam kozalağının değişik nevilerinde farklı hususiyetler göstererek karşımıza çıkmakta ve bu meyvenin mukavemetini sağlamaktadır. Tabiatta dinamik şekiller olarak teşekkül eden spiral şekillere bulutları, galaksileri ve su akıntılarını misal olarak gösterebiliriz. Spiral hareketlerin statik misalleri için ana çiçekçiklere (papatya, v.s.), kozalaklara bakabiliriz. Spiral su akıntılarında yaşayan deniz kabuklarını spiral harikalar olarak görmekteyiz. Mükemmelliği izah eden ve oldukça eski bir sembol olan daire, dairevi simetrinin esasını teşkil eder. Bu şekle misal olarak gezegenlerin daireye yakın bir yörüngeyle güneşin etrafında dönmesini gösterebiliriz. Birçok çiçekler ve deniz yaratıkları da dairevi bir şekilde, canlının merkezinden dışa doğru gelişme göstererek büyürler. Daireyi üç buutlu olarak ele alırsak küre meydana gelir ki buna dünyamızın şekli, suyun serbest bir durumda su damlacığı haline girmesi misaldir. Muhteşem sanatkâr kemaliyle tecelli ederek gökleri mükemmel yaratmıştır. Mükemmel şekil ise küredir. Onun için Kâinatta her şey kürelerden yaratılmıştır. İnsanlarda, bitkilerde ve meyvelerde gördüğümüz bu mükemmellik ve bu incelik kendi kendine olamayacağından insan vicdanı, insan aklını eşsiz bir mimarın varlığını tasdike zorluyor. (AMAZING WORLD OF NATURE?dan derlenmiştir.)